前のページ 1/4 次のページ

計量経済学(けいりょうけいざいがく、Econometrics)とは、経済学の理論に基づいて経済モデルを作成し、統計学の方法によってその経済モデルの妥当性に関する実証分析を行う学問である。

◆ 古典的計量経済学

◇ 系列

分析の対象となる経済系列は、次の3種類に大別される。

;交差系列 (Cross section Data):同一時点での様々なData。例えば、ある時点で47都道府県の人口、人口密度、男女比などを調べたもの。

;時系列 (Time series Data):同一種類のDataを様々な時点で取ったもの。例えば、ある都道府県の人口を時間を追って調べたもの。

;交差時系列 (Panel Data):交差系列 (Cross section Data) で時系列 (Time series Data) である系列。例えば、47都道府県の人口を時間を追って調べたもの。パネルデータと呼ぶことが多い。

◇ 最小二乗法

  単回帰

   推定量の導出

実証分析は、多くの場合回帰分析を通じて行われる。回帰式の推定方法には様々なものがあり、最も基本的なものがOLS (Ordinary Least Squares)、最小二乗法である。被説明変数 $Y\_i$ を説明変数 $X\_i$ で表す回帰方程式、

:$Y\_i=bX\_i+a+u\_i$

を設定して、被説明変数の測定値と(説明変数の測定値および回帰式を用いて求めた)被説明変数の推定値の差(これを残差と呼ぶ)の二乗和を最小にする係数を求める。

実績値 $Y\_$ および推定値 $\backslash hat\; Y\_i=\backslash hatX\_+\backslash hat$ との残差 $U=Y\_-\backslash hat\; Y\_i$ の二乗和

:$\backslash Sigma\backslash \; U^2\_=\backslash Sigma\backslash \; (Y\_-\backslash hat\; Y\_)^2$

:$=\backslash Sigma\backslash \; (Y\_-\backslash hatX\_-a)^2$

:$=\backslash Sigma\backslash \; (Y^2\_+(\backslash hatX\_i)^2+\backslash hat^2-2(bY\_X\_+\backslash hatY\_-a\backslash hatX\_))$

が最小になるように $\backslash hat$ と $\backslash hat$ で一次微分する。

:$\backslash begin\backslash Sigma\backslash \; X\_(Y\_-\backslash hatX\_-a)=0\backslash \backslash$

\Sigma\ (Y_-\hatX_-a)=0\end

⇒

:$\backslash begin\backslash Sigma\backslash \; X\_Y\_=\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_^2+\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_=0\; \backslash \backslash \; \backslash Sigma\backslash \; Y\_=\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_-n\backslash hat=0\backslash end$

⇒

すると正規方程式

:$\backslash begin\backslash Sigma\backslash \; X\_Y\_=\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_^2+\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_=0\backslash \backslash \; \backslash bar=\backslash hat+\backslash hat\backslash bar\backslash end$

が得られる。

⇒

:$\backslash Sigma\backslash \; X\_Y\_=\backslash hat\backslash Sigma\backslash \; X\_^2+(\backslash bar-\backslash hat\backslash bar)\backslash Sigma\backslash \; X\_=0$

⇒

:

:$\backslash hat\; a\; =\backslash bar-\backslash hat\backslash bar$

最後に得られるのが最小二乗推定量 $\backslash hat\; b$ と $\backslash hat\; a$ である。

  誤差項についての標準的仮定

#系列無相関

#分散均一性

#説明変数との無相関

#正規性

のうち、1-3を満たすとき、ガウス=マルコフの定理が成立する(4は不要であることに注意せよ)。

ガウス=マルコフの定理とは、最小二乗推定量は、BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) すなわち最良線形不偏推定量である。言葉を換えると最小二乗推定量は上記の仮定を満たす限り、線形かつ不変な推定量の中でもっとも望ましい性質(分散最小化・有効性)を持っているのである。

また、多次式、指数、対数、ロジスティック方程式は、

変数を一次に変形した回帰方程式で表わせる。

   単係数の有意性

最後に、単回帰分析によって得られた最小二乗推定量の棄却可否は、

最小二乗推定量が定数項と説明変数の数の和を自由度とするt分布に従うことから、t検定によって検定される。Null Hypothesis、すなわち帰無仮説で係数を0とするt valueが高いほど有意である確率、つまりモデルが棄却される確率であるP値が低くなる。

統計的仮説検定の論理を厳密に辿るなれば、この検定では係数が0か否かを検定しているに過ぎず、たとえ帰無仮説を採択できなくなったとしても、それが係数が他の特定の値であることを支持しているわけではない。対立仮説の設定いかんにより、片側検定・両側検定の違いはあっても、検定していることは0かどうかということだけである。

  多重回帰

説明変数を二つ以上にする場合を多重回帰または重回帰という。

   推定量の導出

重回帰ではスカラー表示だと式が複雑になるので、生産的ではない。行列表示で理解できれば必要十分である。

真のモデルを行列表示で

y=X \beta + \varepsilon

としたとき、OLS推定量は

\hat \beta= (X ^X)^ (X ^y)

となる。

  複数係数の有意性

多重回帰分析によって得られた複数の最小二乗推定量、

すなわち係数の複数線形制約の棄却可否は、

(分散不均一の場合でも)Wald検定・LM検定・尤度比検定によって検定可能である。これら三つの検定統計量は、全て$\backslash chi^2$分布するものであり、漸近的にまったく同じものである。分散均一性の仮定が満たされたもとでは、F分布上におけるF統計量の値によって可否を定めるF検定によって検定可能である。この場合のF統計量は、Wald検定統計量と一対一に対応する。

個別係数の有意性は、単回帰と同様にt検定で見ることができる。

   多重共線性

重回帰分析では多重共線性(multi-colinearity, マルチコ)が生じるため、係数の検定ができなくなる。ただし、係数や共分散行列の推定量の一致性を損ねないため、漸近理論を重視する最近の計量では問題視されない。

  標準的仮定に関する問題

誤差項が標準的仮定を満たさず、系列相関や不均一分散、説明変数との相関などが生ずる可能性がある。こういった場合、パラメーターを推定するにあたって何らかの処方箋を講じる必要がでてくる。これは統計量の性質と不可分な関係にある。

・不偏性

これは上述の3を満たしていれば、パラメーターは不偏性を満たすことになる。言い換えれば、誤差項が系列相関を持っていたり、分散が均一でない場合でも、不偏性を満たすことが可能であることを示している。

・系列相関

前のページ 1/4 次のページ

・計量経済学 page1

・計量経済学 page2

・計量経済学 page3

・計量経済学 page4